wyboru

Aksjomat wyboru, pewnik wyboru, AC - aksjomat teorii mnogości gwarantujący istnienie zbioru zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do danej rodziny niepustych zbiorów rozłącznych.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomat_wyboru

Polecam poczytać. To się czyta jak powieść. Zacytuję 1 zdanie
Paradoks Banacha-Tarskiego ma swoją popularną wersję: ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez izometrie) można złożyć kulę wielkości Słońca.

Ile jest tych izometrii?

No izometrii jest sporo. To przekształcenie które nie zmienia odległości punktów (tzn. odl. 2 punktów przed przekształceniem jest taka sama jak po przekształceniu). Izometrie to: obrót, translacja (przesunięcie równoległe), symetria - zarówno osiowa jak i środkowa. A jakichtuużyć

Tu jest link bezpośredni do tego paradoksu
https://pl.wikipedia.org/wiki/Paradoks_Banacha-Tarskiego
Niestety nie ma tu ani dowodu ani nawet wskazówek jak to zrobili ci panowie. Trzeba by głębiej pogooglać. Ale jest małe wyjaśnienie