New Hampshire

Ponieważ shire oznacza hrabstwo, można zaryzykować ustalenie polskiej nazwy Nowa Hampia wymawianej podobnie do wyrazu Olimpia, czyli [hampja].
Inne języki - Nova Hantonia lub Nova Hantescira (łacina), Naujasis Hampšyras (litewski), Ņūhempšīra (łotewski).
Mieszkańcy Nowej Hampii - jeden Hampianin/Hampiańczyk, dwaj Hampianie/Hampiańczycy, pięciu Hampianów/Hampiańczyków; pani Hampianka, przymiotnik hampiański lub jeden Hamp(a), dwaj Hampi albo Hampowie, pięciu Hampów; pani Hampka, przymiotnik hampski.

Należałoby dopisać (łącznie) przed każdym wyrazem 'Nowo', np Nowohampianin itd.

Lepiej -
Mieszkańcy Nowej Hampii - jeden Nowohampianin/Nowohampijczyk, dwaj Nowohampianie/Nowohampijczycy, pięciu Nowohampianów/Nowohampijczyków; pani Nowohampianka/Nowohampijka, przymiotnik nowohampiański/ nowohampijski lub jeden Nowohamp(a), dwaj Nowohampi albo Nowohampowie, pięciu Nowohampów; pani Nowohampka, przymiotnik nowohampski.

a co mi tam, popieram! :)

Na podstawie nazwy rasy kur niuhempszyr, nazwę stanu USA New Hampshire można by ustalić jako Niuhempszyria; mieszkańcy Niuhempszyrii - jeden Niuhempszyr lub Niuhempszyrczyk, dwaj Niuhempszyrzy lub Niuhempszyrczycy, pięciu Niuhempszyrów lub Niuhempszyrczyków; pani Niuhempszyrka, przymiotnik niuhempszyrski.

a wolno w nazwach miast łączyć dwa słowa?

Hongkong

To chyba troszkę inny przypadek, nie wiem czy nie należy do wyjątków potwierdzających regułę. Mniejsza o to, mogę się mylić, w każdym razie warto by sprawdzić, czy występuje jakaś nazwa miasta z początkiem new/nowa/nowy pisana łącznie (zaznaczam, że "Nowocośtam" odpada, w takim przypadku mogłaby być ewentualnie Nowohampszyria).

Oczywiście, że inny - pytanie było mało precyzyjne. Czy można łączyć dwa wyrazy nazwy obcych miast spolszczanych w przypadku, jeśli jeden z wyrazów to 'Nowy' (lub inny przymiotnik). Wg mnie nie można. Mamy Nowy Jork, Nowy Meksyk, Nowa Zelandia.

to dlaczego łączysz (co prawda nie jest to 'nowa' ani nawet nie 'new', tylko dziwactwo 'niu'*... ale zawsze)?
*uzasadnione w przypadku nazwy rasy kur